もらえる期間は年齢も関係します。自己都合なら９０日、会社都合なら３０歳未満で１２０日、３０歳～４５歳未満で１８０日です。

雇用保険の受給期間など詳しい方わかりやすく教えていただければと思っています。
上司からの嫌がらせやパワハラで耐えられそうになく、退職しようと思っています。

被保険者期間は２００９年６月～今まで(４月)
以前勤めていたところは２００８年１１月～２００９年５月まで、すぐに今のところに就職しましたので失業保険はもらっていません。

この場合以前勤めていた会社の期間も関係あるのでしょうか？
受給期間手続きのしかたなど詳しい方よろしくお願いします。

以前勤めていた会社の期間も関係あるのでしょうか？＞関係あります。

もらえる期間は年齢も関係します。まず退職して。離職票をもらう、それを持ってハローワークへ行く。

ただし自己都合の場合は７日＋３ヶ月の待機があります。

会社内でのミスを理由に重責解雇として処理された者です。
離職票のサインの時にその部分を突っ込んで聞くと、備考欄に会社都合によるものと書いておいたから、すぐに失業保険は貰えると説明を
受けました。
しかし重責で処理された場合、待期期間は三ヶ月以上かかるとの情報もあり、重責で処理して備考欄に会社都合によるものと書いてあるものが信用できません。
このような離職票はハローワークでどのように処理されるのでしょうか？

重責解雇は、あなたが重大なミスをしたことによる解雇ですから、会社都合ではありますが、あなたの責任が大きいということで、３か月の給付制限（待機期間）がつきのが一般的です。

解雇という行為は、会社の都合（考え）によるものではありますが、その根本原因があなたの重大なミスなので、ということです。

仮に、自己都合でもやむを得ない理由（職場が遠地へお引越しや病気・親の介護などによりその会社への勤務ができなくなり、別の会社への転職を目指す）であれば、待機期間がなくなることもあります。

要は、どうして退職（解雇）されたかが重要なんです。

最終的な認定権限は公共職業安定所にありますから、一度相談されてみたらいかがでしょうか？

失業保険について教えて下さい。
勤続年数が五年半なので三ヶ月しか給付されないと思うのですが医師は病気で辞めた場合は長く貰えるんじゃなかったっけなぁーと言っていま
した。
正しい給付期間を教えて下さい。

病気で仕事が続けられないということで辞めて「特定理由離職者」になった場合でも「正当な理由のある自己都合退職」と言うことですから支給日数は自己都合と同じになります。
ただし、会社から退職を勧めれたいわゆる「退職勧奨」の場合は会社都合すから支給日数は自己都合よりも優遇されます。
ですからその退職理由によります。
自己都合なら９０日、会社都合なら３０歳未満で１２０日、３０歳～４５歳未満で１８０日です。