ところが今になって失業保険は非課税で確定申告はいらないのではとネットで見て焦ってます。目に見える部分は節約していても、目に見えない部分で多額の税金が使われています。おっしゃるように、住民税などは基本的には前年の所得から計算されます。

雇用保険(失業保険）と年金の事についてお尋ねいたします。
会社で人事担当をしております。
来年65歳(定年退職予定）になる社員より退職日により(65歳に到達する前か後で）雇用保険(失業保険）と年金を同時に貰えるとどこからか聞いたそうです。私は雇用保険(失業保険）と年金は両方同時に貰えなくてどちらか選択しないといけないと聞いておりました。本当に退職時の歳により両方貰えることがあるのでしょうか。どうぞ詳しい方、お教えいただけませんでしょうか。よろしくお願いいたします。

65歳を過ぎて定年退職した場合は、
雇用保険では、

高齢者求職者給付金が支給されます。
支給資格要項に関しては、一年以上の加入などありますが、
こちらは一時金のため、年金受給には影響ありません。

一括で50日分支給されます。
65歳前の退職は、
併給が困難となるか、年金額に影響があります

受給要項は、通常の失業給付と同じです。
どちらも、計算方法は、割愛させて頂きます。

年末調整、確定申告について教えてください。
一昨年12月末で仕事を辞め、失業手当てが出るまで自分で国民健康保険、年金を納めて、もらい終わってから夫の扶養に入りました。夫の年末調整の時申告してもらうつもりでしたが事務所の方には「失業保険は収入になるので奥さん自身で確定申告してください。」と言われ私の扶養控除はしてもらえませんでした。
ところが今になって失業保険は非課税で確定申告はいらないのではとネットで見て焦ってます。夫に改めて事務の方に聞いてもらっても「そうですか？」と首をかしげられたとのこと。どうなんでしょうか。
ちなみに私は去年一年働いていません。また夫は公務員ですがそのことも関係あるのでしょうか。
全くもって無知なのでわかりやすく教えてください。

根本的に間違えてる。

税金の“扶養”と共済・年金の“扶養”は別です。

19年に、ご主人から見てあなたが「控除対象配偶者」だったなら、ご主人の税額計算に「配偶者控除」が適用される、という関係です。
あなたに何か控除が適用されるわけではないし、あなたの税額計算はあなた自身が確定申告しなければなりません。
ご主人の勤め先は、あなた自身に関しては何も関係ありません。

あなたが払った保険料は、ご主人の「社会保険料控除」に入れられますが、あなた名義の口座からの引き落としならダメです。

市役所でアルバイトしていますが、仕事を民間に委託するのはどうしてですか。
市役所でアルバイトして半年近くなります。
３ヶ月契約の延長という形なので厚生年金はもちろん社会保険もなく、
付けてもらえるのは失業保険のみです。
社会保険を付けないために、６ヶ月働くと３ヶ月仕事ができない制度になっています。

役所の建物も老朽化が激しくボロボロですし、税金の無駄遣いをしないために
何事にも節約を心がけた姿勢は素晴らしいと思うのですが、不思議に思う事があります。
それは、業務を民間に委託していることです。
最近見た求人欄にも、市役所の下請けの派遣会社が載っていて
時給が８５０円でした。
友人がバイトしている下請けの会社の時給は１０００円です。
派遣会社のマージン、フルタイムなので各種保険のことを考えると、倍以上税金が使われていると思います。
目に見える部分は節約していても、目に見えない部分で多額の税金が使われています。
ヒマそうな職員がいっぱいいる一方、どうして民間に仕事を委託するのでしょう。
もしかして委託先は、役所の天下り先なのではないか、などと想像してしまう毎日です。
詳しい方がいらっしゃれば、教えていただきたいです。

費用対効果の問題ですね。

行政には雑用や重要性が低い仕事というものも混在します。それらをシルバー人材や障碍者雇用・派遣などで充足している部署があるんですね。正規職員を配した場合、30年程度の人件費を計上していかなければならないので難しいんです。人件費削減もあるし、部署の切り離し・一部事業の独立法人化など民間とは考え方そのものが異なります。
警察や消防のように一定数の必要枠が恒久的に確保できる事業は少ない。

住民税、国民健康保険、年金について…
現在、アルバイト３年目、国保と年金は自分で加入しております。
今月末日で職場が閉店になります。
この場合、免除や軽減が可能なのは保険と年金になりますでしょうか？
住民税は軽減・免除はありませんよね？
前年度の収入で算出される場合どれも免除や軽減は難しいのでしょうか？

まだ仕事は見つからないので失業保険を受給したいと思います。

もし軽減等が可能でしたら、保険の１回目の引き落としが７月１日
退職後の翌日なのですが、いつから適用されるのでしょうか？
ご回答お願い致します。

おっしゃるように、住民税などは基本的には前年の所得から計算されます。
でも、お住まいの市町村の条例（市町村税条例など）で、
『当該年において所得が皆無となったため生活が著しく困難となった者又はこれに準ずると認められる者』について、市町村長が認めれば、市民税を減免する。と定めているところがあります。
お住まいの市町村の条例（税条例など）を調べて、それに該当する場合は、役場で申請しましょう。
健康保険料（税）や年金の減免についても役場で相談しましょう。窓口はそれぞれ違うかもしれません。